Мастер класс

Прогресии

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Числовая последовательность. Арифметическая прогрессия.

Разность прогрессии. Геометрическая прогрессия. Знаменатель

 прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную.

Последовательности. Рассмотрим ряд натуральных чисел:

1,  2,  3, … ,  n – 1,  n , … .

Если заменить каждое число n  в этом ряду некоторым числом  u_n , следуя некоторому закону, мы получим новый ряд чисел:                                           

                          

u₁ ,   u₂ ,   u₃ , …,   u _n - 1 ,   u _n  , … ,

называемый числовой последовательностью. Число  u_n  называется общим членом числовой последовательности.

П р и м е р ы   числовых последовательностей:

2,   4,   6,   8,   10,  … ,  2n,  … ;

                                                                                                                                       

1,   4,   9,   16,   25,  … ,  n² , … ;

1,  1/2,  1/3,  1/4,  1/5,  … , 1/n , … .

Арифметическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности числом  d , называется арифметической прогрессией. Число  d  называется разностью прогрессии. Любой член арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

a_n =  a₁ + d ( n – 1 ) .

Сумма  n  первых членов арифметической прогрессии вычисляется как:

П р и м е р .  Найти сумму первых ста нечётных чисел.

Р е ш е н и е . Применим последнюю формулу. Здесь  a₁ = 1,  d = 2 . Тогда

Геометрическая прогрессия. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число  q , называется геометрической

прогрессией. Число q называется знаменателем прогрессии.  Любой член геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

b_n =  b₁  q ^n - 1 .

Сумма  n  первых членов геометрической прогрессии вычисляется как:

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это геометрическая прогрессия, у которой  | q | < 1 . Для неё определяется понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а именно:  это число, к

которому неограниченно приближается сумма  n первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа  n. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

П р и м е р .  Найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Р е ш е н и е . Применим последнюю формулу. Здесь  b₁ = 1,  q = 1/2. Тогда:

Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную. Предположим, мы хотим обратить периодическую десятичную дробь 0.(3)  в обыкновенную. Рассмотрим эту десятичную дробь в следующем виде:

Это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, первый член которой равен 3/10, а разность  q = 1/10. В соответствии с выше приведенной формулой эта сумма равна:

Таким образом,  0.(3) = 1/3.